حل تمرین صفحه 93 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۹۳ - تمرین ۱ سلام به شما دانش‌آموزان کوشا! برای حل این تمرین، از یک مفهوم ساده استفاده می‌کنیم: اگر تفاضل دو عدد **مثبت** باشد، عدد اول بزرگ‌تر است و اگر **منفی** باشد، عدد دوم بزرگ‌تر است. * **الف)** چون $$a-b=1$$ و عدد ۱ مثبت است، پس حتماً $$a$$ از $$b$$ بزرگ‌تر بوده است. نتیجه: $$a > b$$. * **ب)** حاصل $$u-v$$ برابر $$-2$$ (یک عدد منفی) شده است. این یعنی مقدار $$v$$ از $$u$$ بیشتر بوده که حاصل کم کردن آن‌ها منفی شده است. نتیجه: $$u < v$$. * **ج)** ابتدا عبارت را ساده می‌کنیم: $$2p - 2 = 2q - 3$$ $$2p - 2q = -3 + 2$$ $$2p - 2q = -1$$ $$2(p - q) = -1 \Rightarrow p - q = -0.5$$ چون حاصل تفاضل ($$-0.5$$) منفی است، پس $$p$$ کوچک‌تر از $$q$$ است. نتیجه: $$p < q$$. * **د)** مخرج کسر مثبت است. برای اینکه حاصل کسر منفی ($$-3$$) شود، صورت کسر ($$a-b$$) باید منفی باشد. وقتی $$a-b$$ منفی باشد، یعنی عدد اول از دوم کوچک‌تر است. نتیجه: $$a < b$$.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۹۳ - تمرین ۲ در این تمرین باید مثل یک کارآگاه، از روی علامت کل عبارت، به علامت تک‌تک حروف پی ببریم. به یاد داشته باشید که توان دوم هر عدد غیر صفر همیشه **مثبت** است. * **الف)** در کسر $$\frac{ac}{b^2}$$، مخرج ($$b^2$$) همیشه مثبت است. برای اینکه کل کسر منفی ($$<0$$) شود، صورت ($$ac$$) باید منفی باشد. پس **$$a$$ و $$c$$ باید علامت‌های مختلف داشته باشند** (یکی مثبت و دیگری منفی). * **ب)** برای مثبت بودن $$\frac{a}{bc}$$، یا باید هر سه مثبت باشند، یا دو تا منفی و یکی مثبت باشد تا در نهایت ضرب و تقسیم آن‌ها مثبت شود. * **ج)** وقتی ضرب دو عدد مثبت است ($$ab > 0$$)، یعنی **$$a$$ و $$b$$ هم‌علامت هستند** (یا هر دو مثبت یا هر دو منفی). * **د)** در کسر $$\frac{a^2}{bc}$$، صورت ($$a^2$$) همیشه مثبت است. برای اینکه کل کسر مثبت ($$>0$$) بماند، مخرج ($$bc$$) هم باید مثبت باشد. پس **$$b$$ و $$c$$ باید هم‌علامت باشند**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۹۳ - تمرین ۳ حل نامعادله دقیقاً مثل معادله است، با این تفاوت که اگر دو طرف را در عدد منفی ضرب یا تقسیم کنیم، جهت علامت عوض می‌شود. * **الف)** ابتدا پرانتز را باز می‌کنیم: $$2x - 6 + 5 < 5 - x \Rightarrow 2x - 1 < 5 - x$$ حالا معلوم‌ها یک طرف و مجهول‌ها طرف دیگر: $$2x + x < 5 + 1 \Rightarrow 3x < 6 \Rightarrow x < 2$$ مجموعه جواب: $$D = \{x \in \mathbb{R} | x < 2\}$$. * **ب)** $$3 - 2x \geq 15 - 10x$$ $$-2x + 10x \geq 15 - 3 \Rightarrow 8x \geq 12 \Rightarrow x \geq \frac{12}{8} \Rightarrow x \geq 1.5$$ مجموعه جواب: $$D = \{x \in \mathbb{R} | x \geq 1.5\}$$. * **ج)** برای حذف مخرج‌ها، کل نامعادله را در ۴ ضرب می‌کنیم: $$y - 3 - 4 > 2y \Rightarrow y - 7 > 2y$$ $$y - 2y > 7 \Rightarrow -y > 7$$ حالا چون در $$-1$$ ضرب می‌کنیم، جهت عوض می‌شود: **$$y < -7$$**. * **د)** کل نامعادله را در ۱۲ (ک.م.م مخرج‌ها) ضرب می‌کنیم: $$-24 - 3q \leq 4(1+q) \Rightarrow -24 - 3q \leq 4 + 4q$$ $$-3q - 4q \leq 4 + 24 \Rightarrow -7q \leq 28$$ تقسیم بر $$-7$$ جهت را عوض می‌کند: **$$q \geq -4$$**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۹۳ - تمرین ۴ پاسخ **خیر** است. بیایید با یک مثال ساده (مثال نقض) بررسی کنیم. فرض کنید $$a = -5$$ و $$b = 2$$ باشد. حالا توان دوم آن‌ها را حساب می‌کنیم: $$a^2 = (-5)^2 = 25$$ $$b^2 = (2)^2 = 4$$ در اینجا نابرابری $$a^2 > b^2$$ برقرار است (چون $$25 > 4$$)، اما اگر خود اعداد را مقایسه کنیم، می بینیم که $$-5$$ بزرگ‌تر از $$2$$ **نیست** ($$-5 < 2$$). **نتیجه:** این رابطه فقط زمانی درست است که هر دو عدد $$a$$ و $$b$$ مثبت باشند. در دنیای اعداد منفی، توان دوم اعداد کوچک‌تر (منفی‌تر)، بزرگ‌تر می‌شود!

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۹۳ - تمرین ۵ برای اثبات این موضوع، از اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم. طبق فرض سوال، می‌دانیم $$a^2 > b^2$$ است. اگر $$b^2$$ را به طرف چپ بیاوریم، داریم: $$a^2 - b^2 > 0$$ حالا از اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم: $$(a - b)(a + b) > 0$$ چون در فرض سوال گفته شده که $$a$$ و $$b$$ هر دو مثبت هستند ($$a, b > 0$$)، پس جمع آن‌ها یعنی **$$(a+b)$$ حتماً مثبت است**. در یک ضرب، اگر حاصل مثبت باشد و یکی از عبارت‌ها مثبت باشد، عبارت دیگر هم **حتماً باید مثبت باشد** تا نابرابری درست بماند. پس: $$a - b > 0 \Rightarrow a > b$$ و به این ترتیب حکم ثابت شد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۹۳ - تمرین ۶ تبدیل کلمات به نمادهای ریاضی مثل ترجمه کردن یک زبان است. دو واژه کلیدی داریم: **حداقل** ($$\geq$$) و **حداکثر** ($$\leq$$). * **الف)** پول علی را $$x$$ در نظر می‌گیریم. سه برابر پولش: $$3x$$ دو برابر پولش به علاوه ۳۰۰۰۰: $$2x + 30000$$ چون گفته شده "حداقل"، یعنی می‌تواند مساوی یا بیشتر باشد: **$$3x \geq 2x + 30000$$**. * **ب)** نصف عدد $$a$$: $$\frac{1}{2}a$$ چهار برابر عدد $$b$$: $$4b$$ مجموع آن‌ها: $$\frac{1}{2}a + 4b$$ چون گفته شده "حداکثر"، یعنی می‌تواند مساوی یا کمتر از ۶ باشد: **$$\frac{1}{2}a + 4b \leq 6$$**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۹۳ - تمرین ۷ بیایید این مسئله را به صورت گام به گام حل کنیم: **گام ۱: محاسبه مجموع وزن دو نفر** $$85 + 65 = 150$$ کیلوگرم. **گام ۲: محاسبه حداقل انرژی مورد نیاز روزانه برای هر دو نفر** طبق سوال، هر کس ۳ برابر وزنش کالری نیاز دارد. پس برای هر دو نفر: $$3 \times 150 = 450$$ کیلوکالری در روز. **گام ۳: تشکیل نامعادله برای تعداد روزها ($$x$$)** کل انرژی آن‌ها ۴۵۰۰ کالری است. ضرب تعداد روزها در مصرف روزانه نباید از کل انرژی بیشتر شود: $$450x \leq 4500$$ $$x \leq \frac{4500}{450} \Rightarrow x \leq 10$$ **نتیجه نهایی:** آن‌ها **حداکثر ۱۰ روز** می‌توانند با این مقدار غذا در جنگل دوام بیاورند.